Understanding hierarchical B-splines with a case study: approximation of point clouds from TLS observations

Static or kinematic Terrestrial Laser Scanners (TLS) are a way to acquire all kinds of scenes or objects, offering the possibility to collect millions of 3D points in a short time. The corresponding point clouds (PC) can be analysed in standard software or mathematically approximated. Regression B-spline surfaces allows great flexibility to model PC, since no predetermined geometric primitives such as circles, planes or cylinders restrict the fitting. These surfaces are defined by a tensor product of B-spline basis functions, which limit the local refinement. This drawback can be circumventing by using hierarchical B-splines. In this contribution, we propose to explain in a didactical way the mathematical concepts and apply hierarchical B-splines approximation to TLS observations from a bridge under load. This example highlights the high potential of hierarchical refinement to gain a finer local control over the surface to approximate. It paves the way to model PC from TLS observations and performs rigorous test for deformation based on a fine mathematical approximation of the surface.

Statische oder kinematische terrestrische Laserscanner (TLS) bieten die Möglichkeit, alle Arten von Szenen oder Objekten zu erfassen und in kurzer Zeit Millionen von 3D-Punkten zu sammeln. Die entsprechenden Punktwolken können in Standardsoftware analysiert oder mathematisch approximiert werden. Regressions-B-Spline-Flächen ermöglichen eine große Flexibilität beim Modellieren von TLS Beobachtungen, da keine vorgegebenen geometrischen Grundelemente wie Kreise, Ebenen oder Zylinder die Anpassung einschränken. Diese Oberflächen werden durch ein Tensorprodukt von B-Spline-Basisfunktionen definiert, die die lokale Verfeinerung begrenzen. Dieser Nachteil kann umgangen werden, indem hierarchische B-Splines verwendet werden. In diesem Beitrag schlagen wir vor, die mathematischen Konzepte auf didaktische Weise zu erklären und hierarchische B-Splines-Approximation auf TLS-Beobachtungen von einer Brücke unter Last anzuwenden. Dieses Beispiel zeigt das große Potenzial hierarchischer Verfeinerung, um eine genauere lokale Kontrolle über die Oberfläche zu erhalten. Es ebnet den Weg für die Modellierung von PC anhand von TLS-Beobachtungen und führt strenge Deformationstests auf der Grundlage einer feinen mathematischen Approximation der Oberfläche durch.